Язык: Фортран
Программа FUNINT предназначена для приближенного вычисления функциональных
(континуальных) интегралов в задачах физики и математики [1]. В ней
реализован подход к функциональным интегралам и методам их вычисления на
основе определения интеграла Лебега в абстрактных метрических пространствах,
развитый в [1].
В отличие от стохастических методов (Монте-Карло), в данной программе
используются детерминированные алгоритмы для вычисления функциональных
интегралов, разработанные в [2]. Это дает возможность получения результатов
с гарантированной, а не вероятностной оценкой погрешности и обеспечивает
более высокую скорость сходимости приближений к точному значению интеграла.
В программе FUNINT осуществляется вычисление функционального интеграла
,
где интегрирование производится по пространству

непрерывных на отрезке [0,1] функций с нулевыми значениями на концах отрезка;

- условная мера Винера на пространстве

,

- вещественный
функционал вида

- вещественный параметр,

и

- вещественные функции, задаваемые
пользователем.
Основой для вычисления являются приближенные формулы, описанные в [2].
Данные формулы позволяют находить функциональный интеграл путем вычисления
(n+m) - кратного риманова интеграла, где n и m - произвольные натуральные числа.
Формулы являются точными на классе функциональных многочленов степени
2m+1,
т.е. для функционалов
из этого класса остаточный член
равен нулю.
Для остальных интегрируемых функционалов
погрешность определяется теоремами,
доказанными в [1]. Как следует из оценки остаточного члена (см. [1]), скорость
сходимости приближений, получаемых по данным формулам к точному значению
интеграла при
, m фиксировано, имеет порядок
.
В программе FUNINT реализован алгоритм, соответствующий m = 1, т.е. остаточный
член равен нулю для функциональных многочленов степени не выше 3, а в
остальных случаях скорость сходимости имеет порядок
.
Для достижения точности порядка 0.1% обычно бывает достаточно выбрать
значения параметра n порядка 10 или меньше. В программе FUNINT
предусмотрено вычисление n-кратного интеграла по методу Коробова [3]
с использованием библиотечной подпрограммы MIKOR, допускающей значение
кратности k
20. Для интегрирования по переменной t в выражении
для
используется библиотечная подпрограмма DSIMPS интегрирования
по Симпсону с двойной точностью.
Литература:
- А.Д.Егоров, Е.П.Жидков, Ю.Ю.Лобанов. Введение в теорию и приложения
функционального интегрирования. М: Физматлит, 2006.
- Yu.Yu.Lobanov. Deterministic computation of functional integrals.
Comp.Phys.Comm., 99 (1996) 59-72.
- Н.М.Коробов, Теоретико-числовые методы в приближенном анализе.
М.: Физматгиз, 1963.
Структура:
Тип: |
SUBROUTINE |
Имена входа для пользователя: |
FUNINT |
Внутренние подпрограммы: |
FX, FUNC, FUN1, FUN2, RHO |
Внешние подпрограммы: |
DSIMPS(D120),MIKOR(D121)(из библиотеки JINRLIB)
F1, F2 (составляются пользователем) |
Обращение:
CALL FUNINT(K,X,AX,BX,XM,EPS,R), где:
K |
- |
суммарная кратность риманова интеграла (K=N+1); |
X,AX,BX |
- |
рабочие массивы размерности K (должны быть описаны оператором
DIMENSION в основной программе); |
XM |
- |
значение предела интегрирования по переменной u (может быть
выбрано порядка 4-10 вследствие наличия фактора exp(-u**2)
в зависимости от вида функционала) (см.подробное описание); |
EPS |
- |
требуемая максимальная относительная погрешность нахождения
функционального интеграла; |
R |
- |
результат вычисления. |
В основной программе перед обращением к FUNINT должны быть также определены
следующие переменные:
B |
- |
значение вещественного параметра в выражении для функционала ; |
M=1 |
- |
значение параметра m; |
DX |
- |
массив размерности 2 (должен быть описаны оператором DIMENSION): |
DX(1) и DX(2) |
- |
соответственно начальное и максимальное конечное число
точек многомерной сетки интегрирования для подпрограммы MIKOR; |
L |
- |
порядок периодизации для подпрограммы MIKOR, 0 L 10
(рекомендованные значения L=1,2,3); |
H |
- |
относительная ширина пограничного слоя для подпрограммы MIKOR
(рекомендуется 0.1 H 10.0). |
Данные переменные должны быть занесены в COMMON-блок PAR:
COMMON/PAR/B,DX(2),L,M,H
Если задать DX(1),DX(2),L,M,H
0, то выбор этих величин будет осуществлен в программе автоматически.
Пользователем должны быть также написаны подпрограммы-функции FUNCTION F1(X)
и FUNCTION F2(X) в соответствии с видом интегрируемого функционала
.
Примечания:
- При необходимости вычисления функционального интеграла по пространству
со значениями
, он может быть преобразован к интегралу по пространству
с помощью замены
переменных, описанной в [1].
- Точность результата и эффективность вычислений во многом зависит от выбора
параметров интегрирования для подпрограммы MIKOR. В случае неудачного
выбора этих параметров и невозможности достижения требуемой точности
выдается соответствующая диагностика.
Архив программы с подробным описанием и исходными текстами.
Работа выполнена в Лаборатории информационных технологий ОИЯИ.