Язык: Фортран

---

Программа FUNINT предназначена для приближенного вычисления функциональных (континуальных) интегралов в задачах физики и математики [1]. В ней реализован подход к функциональным интегралам и методам их вычисления на основе определения интеграла Лебега в абстрактных метрических пространствах, развитый в [1].

В отличие от стохастических методов (Монте-Карло), в данной программе используются детерминированные алгоритмы для вычисления функциональных интегралов, разработанные в [2]. Это дает возможность получения результатов с гарантированной, а не вероятностной оценкой погрешности и обеспечивает более высокую скорость сходимости приближений к точному значению интеграла.

В программе FUNINT осуществляется вычисление функционального интеграла

, где интегрирование производится по пространству непрерывных на отрезке [0,1] функций с нулевыми значениями на концах отрезка;
- условная мера Винера на пространстве , - вещественный функционал вида

- вещественный параметр, и - вещественные функции, задаваемые пользователем.

Основой для вычисления являются приближенные формулы, описанные в [2].

Данные формулы позволяют находить функциональный интеграл путем вычисления (n+m) - кратного риманова интеграла, где n и m - произвольные натуральные числа.
Формулы являются точными на классе функциональных многочленов степени 2m+1, т.е. для функционалов из этого класса остаточный член равен нулю.
Для остальных интегрируемых функционалов погрешность определяется теоремами, доказанными в [1]. Как следует из оценки остаточного члена (см. [1]), скорость сходимости приближений, получаемых по данным формулам к точному значению интеграла при , m фиксировано, имеет порядок .

В программе FUNINT реализован алгоритм, соответствующий m = 1, т.е. остаточный член равен нулю для функциональных многочленов степени не выше 3, а в остальных случаях скорость сходимости имеет порядок .
Для достижения точности порядка 0.1% обычно бывает достаточно выбрать значения параметра n порядка 10 или меньше. В программе FUNINT предусмотрено вычисление n-кратного интеграла по методу Коробова [3] с использованием библиотечной подпрограммы MIKOR, допускающей значение кратности k20. Для интегрирования по переменной t в выражении для используется библиотечная подпрограмма DSIMPS интегрирования по Симпсону с двойной точностью.

Литература:

1. А.Д.Егоров, Е.П.Жидков, Ю.Ю.Лобанов. Введение в теорию и приложения функционального интегрирования. М: Физматлит, 2006.
2. Yu.Yu.Lobanov. Deterministic computation of functional integrals. Comp.Phys.Comm., 99 (1996) 59-72.
3. Н.М.Коробов, Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

Структура:

Тип:	SUBROUTINE
Имена входа для пользователя:	FUNINT
Внутренние подпрограммы:	FX, FUNC, FUN1, FUN2, RHO
Внешние подпрограммы:	DSIMPS(D120),MIKOR(D121)(из библиотеки JINRLIB) F1, F2 (составляются пользователем)

Обращение:

CALL FUNINT(K,X,AX,BX,XM,EPS,R), где:

K	-	суммарная кратность риманова интеграла (K=N+1);
X,AX,BX	-	рабочие массивы размерности K (должны быть описаны оператором DIMENSION в основной программе);
XM	-	значение предела интегрирования по переменной u (может быть выбрано порядка 4-10 вследствие наличия фактора exp(-u**2) в зависимости от вида функционала) (см.подробное описание);
EPS	-	требуемая максимальная относительная погрешность нахождения функционального интеграла;
R	-	результат вычисления.

В основной программе перед обращением к FUNINT должны быть также определены следующие переменные:

B	-	значение вещественного параметра в выражении для функционала ;
M=1	-	значение параметра m;
DX	-	массив размерности 2 (должен быть описаны оператором DIMENSION):
DX(1) и DX(2)	-	соответственно начальное и максимальное конечное число точек многомерной сетки интегрирования для подпрограммы MIKOR;
L	-	порядок периодизации для подпрограммы MIKOR, 0L10 (рекомендованные значения L=1,2,3);
H	-	относительная ширина пограничного слоя для подпрограммы MIKOR (рекомендуется 0.1H10.0).

Данные переменные должны быть занесены в COMMON-блок PAR:
   COMMON/PAR/B,DX(2),L,M,H

Если задать DX(1),DX(2),L,M,H 0, то выбор этих величин будет осуществлен в программе автоматически.

Пользователем должны быть также написаны подпрограммы-функции FUNCTION F1(X) и FUNCTION F2(X) в соответствии с видом интегрируемого функционала .

Примечания:

1. При необходимости вычисления функционального интеграла по пространству со значениями , он может быть преобразован к интегралу по пространству с помощью замены переменных, описанной в [1].
2. Точность результата и эффективность вычислений во многом зависит от выбора параметров интегрирования для подпрограммы MIKOR. В случае неудачного выбора этих параметров и невозможности достижения требуемой точности выдается соответствующая диагностика.

Архив программы с подробным описанием и исходными текстами.

Работа выполнена в Лаборатории информационных технологий ОИЯИ.

---