В обзоре детально рассмотрена возможность введения на дифференцируемом многообразии пары контравариантной и ковариантной аффинных связностей, различающихся не только знаком. Теория пространств с такими парами связностей детально разработана здесь в объеме, необходимом для построения кинематики векторных полей и лагранжевой теории тензорных полей в таких пространствах. Введены оператор ковариантного дифференцирования и дифференциальный оператор Ли. Исследуется их действие на тензорные поля. В пространствах с разными связностями рассмотрено действие девиационного оператора, играющего существенную роль для уравнений девиации в гравитационной физике. Введены понятия ковариантной и контравариантной метрик с соответствующими им проективными метриками. Определено действие ковариантного оператора дифференцирования и дифференциального оператора Ли на этих метриках. Дана классификация переносов и перемещений метрик. Рассмотрены разложения ковариантной производной от метрики на основные структуры, имеющие отношение к связностям. Введен расширенный ковариантный дифференциальный оператор. Исследованы изменения элементарного объема под действием ковариантного оператора дифференцирования и дифференциального оператора Ли. Введены ковариантный оператор дифференцирования и дифференциальный оператор Ли, не изменяющие элементарный объем. Рассмотрены инвариантные операторы Ли и ковариантные дифференциальные операторы, действующие как изоморфизмы на контравариантные и ковариантные тензорные плотности.

The theory of spaces with different contravariant and covariant affine connections, whose components differ not only by sign, and metrics [(_n,g)-spaces] is worked out within the framework of the tensor analysis over differentiable manifolds and in a volume necessary for the further considerations of the kinematics of vector fields and the Lagrangian theory of tensor fields over (_n,g)-spaces. The possibility of introducing affine connections, whose components differ not only by sign, for contravariant and covariant tensor fields over differentiable manifolds with finite dimensions is discussed. The action of the deviation operator, having an important role for deviation equations in gravitational physics, is considered for the case of contravariant and covariant vector fields over differentiable manifolds with different affine connections (called _n-spaces). A deviation identity for contravariant vector fields is obtained. The notions covariant, contravariant, covariant projective and contravariant projective metric are introduced in (_n,g)-spaces. The action of the covariant and the Lie differential operator on the different type of metrics is found. The notions of symmetric covariant and contravariant (Riemannian) connection are determined and presented by means of the covariant and contravariant metric and the corresponding torsion tensors. The different types of relative tensor fields (tensor densities) as well as the invariant differential operators acting on them are considered. The invariant volume element and its properties under the action of different differential operators are investigated.